1.2. Кинематика

1.2.1. Кинематика точки
Основные положения. Кинематика - раздел теоретической механики, в котором изучается механическое движение, без учета масс и приложения сил. Всякое движение тел происходит в пространстве и во времени, по отношению к другим телам, с которыми жестко связывают систему координат, называемую системой отсчета. Абсолютно неподвижных тел в окружающем нас мире нет, поэтому движение и покой любого тела являются относительными. При изучении движения самолета по аэродрому или при полетах на небольшие расстояния Землю считают неподвижной и связывают с ней систему отсчета. При скоростных полетах на большие расстояния систему отсчета по-прежнему связывают с Землей, но не считают ее неподвижной, а учитывают суточное, а в некоторых случаях и годовое движение. При расчетах движения космических кораблей систему отсчета связывают с Солнцем и так называемыми "непод-вижными" звездами.
Для измерения расстояний в пространстве используют единицу длины - метр.
Время в механике считают скалярной, непрерывно изменяющейся величиной, одинаковой для всех систем отсчета. За единицу времени принята секунда.
Для характеристики рассматриваемого движения в механике пользуются понятиями "траектория точки", "скорость точки" и "ускорение точки".
Траекторией называют множество последовательных положений движущейся точки в рассматриваемой системе отсчета.
Скоростью точки называют пространственно-временную меру, характеризующую быстроту и направление движения точки.
Ускорением точки называют пространственно-временную меру, характеризующую изменение абсолютной величины и направления скорости. Способы задания движения точки. Определение скорости и ускорения точки. Для задания движения точки в пространстве пользуются каким-либо одним из трех основных способов: векторным, координатным, естественным.
Векторный способ. Положение точки в пространстве однозначно определяется заданием радиуса-вектора , проведенного из некоторого неподвижного центра О в данную точку М. Для определения движения точки должна быть задана вектор-функция аргумента t (рис. 1.43):
(1.40)

Траекторией точки является г о д о г р а ф радиуса-вектора.
Вектор скорости точки в данный момент времени t равен первой производной от радиуса-вектора точки по времени и направлен по касательной к траектории точки в сторону движения (рис. 1.44).

(1.41)

Размерность [V] = [длина/время] = L/t = м/с.
С к о р о с т ь - это векторная величина, характеризующая быстроту и на-правление движения точки в данной системе отсчета.
У с к о р е н и е м точки называется вектор, характеризующий быстроту изменения вектора скорости (рис. 1.45)

(1.42)

Ускорение точки равно первой производной от вектора скорости или вто-рой производной от радиуса-вектора точки по времени. Вектор ускорения точ-ки всегда направлен в сторону вогнутости траекториии и лежит в так называемой соприкасающейся плоскости. 
Рис. 

1.43              Рис. 1.44            Рис. 1.45


Рис. 1.46

Координатный способ. Рассмотрим движение точки в прямо угольной системе декартовых координат. Положение точки М в системе отсчета OXYZ определяется тремя декартовыми координатами точки x, y, z.

уравнения движения точки в декартовых коорди-натах. Обозначим орты осей координат . Проведем из начала координат в движущуюся точку М радиус-вектор, где , тогда

где

проекции вектора скорости точки на неподвижные оси декартовых координат. Модуль и направление вектора скорости
V = = (1.45)
; ; (1.46)

Ускорение точки определяем, зная, что

где

проекции ускорения на координатные оси.
Модуль и направляющие косинусы вектора ускорения:
(1.48)
(1.49)
Естественный способ. Движение точки определено, если зада-ны (рис. 1.47):
- траектория, положение которой относительно выбранной системы от-счета известно;
- начало и направление отсчета дуговой координаты;
- уравнение движения
s = f(t), (1.50)

связывающее расстояние S движущейся точки от начала отсчета со временем. В общем случае расстояние S не равно пройденному точкой М пути, так как точ-ка может начать движение не из начала отсчета О, а из другого положения (М1). Численное значение скорости
(1.51)

т.е. равно первой производной по времени от расстояния. Знак скорости показывает направление движения точки в данный момент. При знаке "плюс" точка движется в сторону положительного отсчета расстоя-ний и наоборот.

При естественном способе задания движения ускорение точки определя-ют его составляющими, направленными по так называемым естественным осям. Траектория точки, как и любая кривая, имеет три естественные оси (рис. 1.48):
- касательную (орт оси- ) направленную в сторону положительно-го отсчета;
- главную нормаль (орт оси- ) - линию пересечения соприкасаю-щейся и нормальной плоскостей, направленную в сторону вогнутости кривой;
- бинормаль (орт оси- ), перпендикулярную касательной и главной нормали.

Кривизной К кривой в данной точке называют предел отноше-ния угла смежноcти (рис. 1.49) к длине дуги

Величина, обратная кривизне K, называется радиусом кривизны:

                   Рис. 1.47               Рис. 1.48                  Рис. 1.49
Ускорение точки лежит в соприкасающейся плоскости и равно производной от вектора скорости по времени (рис. 1.50). Представим вектор скорости как произведение ее численного значения V на орт касательный :



Первое слагаемое есть касательное ускорение точки, характеризующее изменение вектора скорости этой точки только по модулю:
Рассмотрим второе слагаемое. Величину найдем, взяв предел отношения
Получим ,где - единичный вектор, направленный по главной нормали, p- радиус кривизны траектории.
Тогда - составляющая ускорения точки вдоль главной нормали к траектории называется нормальным ускорением точки и характеризует изменение направления вектора скорости:
(1.55)
Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны траектории

Полное ускорение
(1.56)

Модуль ускорения и его направление определяют по формулам:

(1.57)

или (1.58)

(1.59)


                                                 а                  б
                         Рис. 1.50              

     Рис. 1.51


Движение точки будет ускоренным (рис. 1.51а), если направление векторов скорости и касательного ускорения совпадает, и замедленным (рис. 1.51б), если наоборот.

Прямолинейное равномерное движение точки - единственный вид движения, при котором ускорение точки равно нулю

Прямолинейное неравномерное движение точки характеризуется изме-нением скорости по модулю
Криволинейное и равномерное движение точки - происходит изменение направления скорости

Криволинейное неравномерное движение точки


Скорость и уравнение равнопеременного движения точки
Уравнение равнопеременного движения точки при

Пример 2.1. Посадочная скорость самолета =140 км/ч, длина пробега после посадки L = 450 м. Найти время t пробега и ускорение


Решение. Для определения ускорения самолета используем уравнение равнопеременного прямолинейного движения точки , т.к. в конце пробега самолет останавливается, то его конечная скорость обращается в нуль

Пример 2.2. Самолет при взлете, разбегаясь по ВПП, движется в соответствии с уравнением , (где S - в м; t - в с) и взлетает через 30 с. Определить ускорения самолета в начальный момент и в момент отрыва , скорость отрыва Vотр и длину разбега L.

Решение. Скорость движения точки равна первой производной от рас-стояния по времени
Ускорение прямолинейного движения (когда отсутствует нормальное ус-корение) равно производной от скорости точки по времени
= dV/dt = 2,2 - 0,006t
Отсюда найдем ускорение в начальный момент (t = 0) и в момент от-рыва (tотр = 30c)

= 2,2 м/с2 , = 2,2 - 0,006*30 = 2,02 м/с2 .

Скорость отрыва определим, подставляя tотр = 30с

Длину разбега найдем
Hosted by uCoz