1.2.2. Простейшие виды движения твердого тела

Поступательное движение. Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, соединяющая две точки тела, дви-жется параллельно самой себе. Траектории точек твердого тела могут быть лю-быми кривыми линиями.
Теорема: При поступательном движении твердого тела все точки дви-жутся поступательно, описывают одинаковые траектории (совпадающие при наложении) и в каждый момент времени имеют равные скорости и ускорения.
Докажем эту теорему. Пусть твердое тело совершает поступательное движение относительно системы отсчета OXYZ. Положение точек А и В опре-делено радиусами-векторами и соответственно, а положение точки В относительно точки А - радиусом-вектором . Тогда , где = const, учитывая, что и тогда , но

Следовательно ||=|| (1.62)

Взяв производные от скоростей обеих точек, или ||=||

Таким образом, доказано, что поступательное движение твердого тела есть простейшая форма движения. Изучение этого движения сводится к изу-чению движения точки.

Вращательное движение твердого тела. В р а щ а т е л ь н ы м называ-ется такое движение твердого тела, при котором остаются неподвижными все его точки, лежащие на некоторой прямой, называемой осью вращения (колен-чатый вал поршневого двигателя, центробежный компрессор, газовая турбина реактивного двигателя, винт самолета вращаются вокруг неподвижных осей). Угол, отсчитываемый от неподвижной полуплоскости против движения часовой стрелки, измеряемый в радианах, называется у г л о м п о в о р о т а т е л а - . Уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси выражает зави-симость угла поворота от времени (рис. 1.53):
(1.64)

Основными характеристиками вращательного движения тела являются угловая скорость - и угловое ускорение - .

(1.65)

Размерность [] = [рад/с] =[ ] .
Величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота с течением времени, называется угловой скоростью тела - .
Угловую скорость тела можно изобразить в виде вектора , численная величина которого равна и который направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки (рис. 1.54а). Такой вектор сразу определяет и модуль угловой скорости, и ось вращения, и направление вращения вокруг этой оси.
В технике угловую скорость часто выражают не в радианах в секунду, а частотой вращения n, выраженной числом оборотов в минуту. Зависимость между n и с учетом того, что каждый оборот содержит рад, имеет вид 


                             Рис. 1.53                      Рис. 1.54

Угловое ускорение тела (по аналогии с угловой скоростью) можно также изобразить в виде вектора , направленного вдоль оси вращения. При этом направление совпадает с направлением , когда тело вращается ускоренно и противоположно при замедленном вращении (рис. 1.54а, б).
[рад/ ] (1.66)

Величины n являются угловыми характеристиками, применимы-ми для всего тела в целом. Их нельзя относить к отдельной точке вращающегося тела или к другой какой-либо точке. Движение точки характеризуется линейными величинами: скоростью и ускорением .
Равномерное вращение При равномерном вращении тела постоянна его угловая скорость

или
(1.67)

Равнопеременное вращение. При равнопеременном вращении постоянно угловое ускорение

(1.68)


(1.69)

При и получим
Скорости и ускорения точек тела, при вращательном движении. Рассмотрим какую-нибудь точку М твердого тела, находящуюся на расстоянии R от оси вращения OZ (рис. 1.55). При вращении тела точка М будет описывать окружность радиуса R, плоскость которой перпендикулярна к оси вращения, а центр С лежит на самой оси. Если за время dt происходит элементарный поворот тела на угол , то точка М при этом совершит вдоль своей траектории элементарное перемещение . Тогда скорость точки будет равна

или
(1.70)

Скорость V называют линейной или окружной скоростью точки М.


Касательное и нормальное ускорения

или

(1.71)

Модуль полного ускорения
(1.72)

и угол между вектором полного ускорения и главной нормалью траектории

(1.73)

Пример 2.3. Рулевой винт вертолета начинает вращаться равноускорен-но из состояния покоя и за первые 4 с совершает 38,2 оборота. Определить его угловое ускорение, угловую скорость и закон изменения угла поворота.
Решение. При равноускоренном вращательном движении угловое уско-рение постоянно ( = const). Записав для него общее дифференциальное выра-жение , разделим в этом выражении переменные и проинтегрируем его. В результате получим
Угловая скорость связана с углом поворота выражением . Еще раз разделив переменные и проинтегрировав, найдем закон вращательного движения
По условию задачи при t = 4 c, = 38,2 об = 240 рад.
Подставив эти значения в общее выражение для угла поворота, найдем откуда = 30 . Таким образом,

Пример 2.4. При выходе на рабочий режим ротор газотурбинного авиадвигателя вращается согласно уравнению , где угол изменяетя в радианах, а время t - в секундах. Определить скорость и ускорение рас-положенного на расстоянии R = 475 мм от оси вращения центр тяжести лопатки ротора через 4 с после начала вращения.
Решение. Используя дифференциальные зависимости между углом пово-рота и угловой скоростью, угловой скоростью и угловым ускорением, найдем

По найденным кинематическим характеристикам вращательного движения не представляет труда найти скорость V =R = 320 0,475 = 477 м/c, касательное , нормальное и полное - ускорения центра тяжести лопасти турбины.
Hosted by uCoz