1.3.3 Свободные прямолинейные колебания материальной точки

Материальная точка М массой m движется прямолинейно под действием восстанавливающей силы F, направленной к центру колебания О.

                                 F = -cx,

 где c - постоянный коэффициент пропорциональности.

Дифференциальное уравнение колеблющейся материальной точки

                                m = -cx                                    (1.96)

Разделим левую и правую часть на m и введем обозначение c/m = k² и  перенесем в левую часть.

                                                    = 0                                                      (1.97)

Получили линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение этого уравнения имеет вид

                                              x = C₁coskt + C₂sinkt                                               (1.98)

 Уравнение гармонических колебаний материальной точки, где C₁  и C₂ -  прозвольные постоянные, определяемые по начальным условиям движения            t = 0, x = x₀ , V = V₀;

                                   V = dx/dt = -C₁ ksinkt + C₂ kcoskt                                     (1.99)

x₀ = C₁, V₀ = C₂ k  Þ  C₁ = x₀ , C₂ = V₀ /k,  подставим в (1.98), получим

                                                                                 (1.100)

искомый закон движения точки М.

Для анализа свободных колебаний дифференциальное уравнение (1.98) лучше представить в амплитудной форме, где C₁=A sinα, C₂=A cosα

                                                 x = A sin(kt +α),                                                  (1.101)

следовательно, в случае прямолинейного движения под действием притягивающей силы, пропорциональной расстоянию от центра притяжения, материальная точка совершает гармонические колебания.

Величина наибольшего отклонения точки М от центра О, называется  амплитудой – A колебания; аргумент (kt + α) называется фазой колебания; α – начальная фаза колебания, k – круговая частота колебаний. График гармоничес-ких колебаний - синусоида.

Скорость точки определяется по формуле:

                                           V = dx/dt = Аkcos(kt + α)                                         (1.102)

Амплитуда A и начальная фаза α  определяются по начальным условиям  движения. Пусть при t = 0, абсцисса точки М = x₀, а скорость V₀.

      x₀ = Аsinα ,  V₀ =Аkcosα ,  получаем

                                        А =     и   tgα =                                   (1.103)

Найдем полный период колебаний -T, т.е. тот промежуток времени, по истечении которого точка возвращается в данное положение с той же самой скоростью.

                                           T = 2π /k   или   T = 2π                                      (1.104)

Частота и период свободных колебаний точки зависят лишь от массы этой точки и от коэффициента -с, характеризующего восстанавливающую силу, и не зависят от начальных условий движения, k = 2 π /T - круговая частота колебаний определяет число полных колебаний, которые совершает точка в течение 2π секунд.