2.4. Растяжение и сжатие. Эпюры продольных сил  и нормальных напряжений

Растяжением или сжатием называется такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникает только продольная сила N, действующая перпендикулярно плоскости поперечного сечения.

Многие детали и узлы авиатехники в процессе эксплуатации испытывают деформацию растяжения или сжатия. Болты и шпильки при затяжке растягиваются. Тяги управления самолетом и двигателем, в зависимости от характера и режима полета, растягиваются или сжимаются. Растяжение и сжатие воспринимают полки лонжеронов, шатуны кривошипных механизмов, рама крепления двигателя к самолету, стойки шасси и т.д.

Рассмотрим невесомый, защемленный левым концом прямой брус, вдоль оси которого действуют силы 2F и 3F (рис. 2.4).

1. Разбиваем брус на участки, границами которого являются точки приложения сосредоточенных сил или изменение поперечного сечения.

                                                                2. Методом сечений на каждом участке определяем продольные силы N₁ и N₂, начиная со свободного конца. Во всех точках поперечного сечения бруса будут действовать внутренние распределенные силы, равнодействующая которых определится из условия равновесия одной из частей бруса.

                                                                   Σ Z = - N₁ + 3F = 0,    N₁  = 3F.

Рис. 2.4

Аналогично находим продольную силу N₂:   Σ Z =- N₂  -2F + 3F = 0,  N₂  = F.

В пределах одного участка продольная сила будет иметь постоянное значение. Растягивающие продольные силы будем считать положительными, а сжимающие - отрицательными.

3. Нормальные напряжения равномерно распределенные по сечению определяются по формуле:

                                                      σ  =                                                       (2.5)

Для наглядного изображения распределения вдоль оси бруса продольных сил и нормальных напряжений строят графики, называемые эпюрами, причем для нормальных напряжений применяется тоже правило знаков, что и для продольных сил (рис. 2.4).

Условие прочности при растяжении - сжатии:

                                               s_max = < [σ ]                                                (2.6)

Три задачи, решаемые из условия прочности:

1. Определение безопасной нагрузки, если известны размеры и материал                                                F =N < A [ σ ]

2. Проектный расчет - определение размеров поперечного сечения, если известна нагрузка и материал  A >

3. Проверка прочности σ_max < [ σ ].

Деформации при растяжении, сжатии. Закон Гука. Английский ученый Роберт Гук (1635-1703) установил зависимость между напряжением и деформацией, которое формулируется так: н о р м а л ь н о е  н а п р я ж е н и е 

п р я м о  п р о п о р ц и о н а л ь н о   о т н о с и т е л ь н о м у   у д л и н е н и ю  или  у к о р о ч е н и ю.

Математически закон можно записать в виде равенства:

                                                σ = E ε .                                                          (2.7)

Коэффициент пропорциональности E характеризует жесткость материала, т.е. его способность сопротивляться упругим деформациям растяжения или сжатия, и называется модулем продольной упругости или модулем упругости  первого рода.

Модуль упругости и напряжения выражаются в одинаковых единицах:

E = σ  / ε  (MПа).

Значения E, МПа, для некоторых материалов:

                    Чугун ...............(1,5...1,6) 10⁵

                    Сталь................(1,96...2,1) 10⁵

                    Сплавы алюминия......(0,69...0,71) 10⁵

                    Титановые сплавыЕ..1,1 10⁵

Если в формулу закона Гука подставить выражения относительной продольной деформации  и нормального напряжения , то абсолютная продольная деформация

                                               .                                                         (2.8)

Произведение EA, стоящее в знаменателе, называется жесткостью сечения при растяжении и сжатии. Эта формула читается так: а б с о л ю т н о е  у д л и н е н и е  или  у к о р о ч е н и е  п р я м о  п р о п о р ц и о н а л ь н о  п р о-

д о л ь н о й  с и л е,  д л и н е   и  о б р а т н о  п р о п о р ц и о н а л ь н о  ж е с т к о с т и   с е ч е н и я  б р у с а.

Dl = l₁ - l

Приведенные выше формулы закона Гука применимы только для брусьев или их участков постоянного поперечного сечения, изготовленных из однородного материала и при постоянной продольной силе.

Для бруса, имеющего несколько участков, отличающихся материалом, размерами поперечного сечения, величиной продольной силы, изменение длины всего бруса равно алгебраической сумме удлинений и укорочений отдельных участков:

Δ l = Σ (Δ l_i).

При растяжении и сжатии возникает и поперечная деформация стержня. Поперечный размер бруса первоначально равный b, уменьшился до b₁ . Абсолютное сужение Δb = b Ц b₁.

Отношение абсолютной поперечной деформации к первоначальному поперечному размеру называется относительной поперечной деформацией 

ε' = Δb/ b

                                             Рис. 2.5

Опытами французского ученого Пуассона (1781-1840) установлено, что отношение относительной поперечной деформации к относительной продольной деформации есть величина постоянная для данного материала и называется коэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона  μ =.