2.8.  Сдвиг и кручение

Сдвигом (срезом) называется такой вид деформации, при которой в любом поперечном сечении бруса возникает только поперечная сила. На сдвиг работают заклепки, болты шарнирных соединений, цапфы крепления стоек  шасси, пальцы соединения тяг, поршневые пальцы, стенки лонжеронов крыла и др. элементы конструкций. Простейшим примером сдвига является резание ножницами. При сдвиге поперечные сечения бруса смещаются, оставаясь в параллельных плоскостях.

Экспериментально чистый сдвиг может быть осуществлён при кручении тонкостенной трубы (рис.  2.9а).

Рассмотрим элемент abcd, вырезанный из тонкостенной трубы (рис. 2.9б).

а                                                          б

Рис. 2.9

При возникновении касательных напряжений элемент перекашиваетнся. Если считать грань ad закреплённой, то грань вс сдвинется в  положенние в' с'. Все прямые углы между гранями изменятся на одну и ту же велинчину g. Угол g представляющий изменение первоначального прямого угла между гранями элементарного параллелепипеда, называется углом сдвига.

Опыты показывают, что при сдвиге справедлив закон Гука, т.е.

                                                                                                                    (2.9)

G -модуль упругости при сдвиге (модуль упругости второго рода), как  и модуль продольной упругости е, имеет размерность Н/мм². Модуль упругости при сдвиге связан с модулем упругости при растянжении соотношением

                                                          G =                                                           (2.10)

где    - коэффициент Пуассона.

Для стали обычно принимают  G= 0,4Е при  = 0,25.

Если напряжения  при сдвиге превосходят предел прочности материанла, происходит разрушение, называемое срезом.

Напряжённое состояние прямоугольного параллелепипеда, на четырёх гранях которого действуют только одни касательные напряжения, называется чистым сдвигом.

Условие прочности  при сдвиге

                                                          t_max =  ≤ [τ]                                                          (2.11)

позволяет решать три типа задач:

1.     Проектный расчет

2. Определение допускаемой нагрузки   

Q г [t]A

3. Проверка прочности

                                                                                                           t_max г [t]

Смятие. Деформации сдвига (среза) часто сопровождаются смятием. Характерным для смятия является действие сжимающей силы на сравнительно малом участке. Деформация возникает только на поверхностях соприкосновения сжимаемых тел и не распространяется  на большую глубину.

Для обеспечения надежной работы деталей, воспринимающих сжимающие нагрузки, необходимо производить проверочный расчет на смятие

                                                          s_см=   < [s_cм]                                                          (2.12)        

где [s_cм] = (2Е2,5) [s_cж],  здесь [s_cж] -допускаемое напряжение на сжатие. Проверка на смятие производится для более мягкого материала, если соприкасающиеся тела сделаны из разных материалов.

Рис. 2.10

Пример 4.1. Проверить на прочность болт, соединяющий тягу управления с качалкой (рис. 2.10), если сила Р=3,5 кН, диаметр болта d=6 мм, допускаемое напряжение для материала болта [t] =160 МПа (срез по двум плоскостям).

Решение. Из условия прочности на срез t_ср =  < [t_ср], определяем рабочее напряжение    t = ,  где A= - площадь поперечного сечения двух срезов 

                                                                              t==62 МПа

Прочность болта достаточная, так как  t < [t].

Кручением называется такой вид деформации, при котором в любом понперечном сечении бруса возникает только крутящий момент. Деформации кручения подвергаются многие детали самолета и двигателя (коленчатый вал поршневого двигателя, вал газораспределения, валики приводов топливных и масляных насосов, вал редуктора и др.). Кручению подвергаются и такие элементы самолета, как  крыло, фюзеляж, лонжероны рулей и элеронов, стабилизатор, киль, стойки шасси и др.

Деформации кручения возникают, если к прямому брусу в плоскоснтях, перпендикулярных оси, приложить пары сил. Моменты этих пар будем называть вращающими (при вращении бруса) и скручивающими (если брус защемлен).

Поперечные сечения вала не искривляются, а поворачиваются вокруг оси вала как жесткие диски. При кручении оказывается справедливой гипотеза плоских сечений, суть которой:

- сечения вала плоские и перпендикулярные к оси вала до деформации остаются такими же и после деформации;

- расстояние между ними не меняется;

- радиусы окружностей остаются прямыми линиями.

Рассмотрим  кручение круглого цилиндра длиной l (рис. 2.11).

                Рис. 2.11                                                      Рис..2.12

Выделим из вала элементарный цилиндр длиной dz. Будем считать выделенную часть бруса защемленной в сечении I. Под действием М_к  вал повернется на угол dj. Угол, на который поворачивается при кручении любое сечение, называется  углом закручивания. Угол закручивания возрастает прямо пропорционально расстоянию сечения от закрепленного конца стержня и достигает наибольших размеров в крайнем сечении на свободном конце.

Образующая АВ займет положение АВв, то есть произойдет сдвиг на угол  g,  тогда  BBв = dz╫g = r╫dj  или

Угол, приходящийся на единицу длины стержня, называется относительным углом закручивания  , тогда g =. По закону Гука при сдвиге касательное напряжение

                                                                                              (2.13)

Внутренняя сила возникающая на площадке dА, расположенной на расстоянии r от оси бруса, равна  t_r╫dА, ее момент относительно оси вала t_r╫dА╫r. Суммируя элементарные моменты по площади сечения - А, получим полный крутящий момент Т_к, возникающий в сечении вала:

,  Т_к = ,

где  - полярный момент инерции. Из полученной зависимости выразим относительный угол закручивания 

                                                                                                       (2.14)

тогда касательное напряжение при кручении в любой точке вала:

                                                                                                                  (2.15)

Очевидно в центре вала при ρ=0, τ =0. Максимального значения касательное напряжение достигает на поверхности вала при ρ = d/2. Из эпюры видно (рис. 2.12), что внутренние слои материала при кручении нагружены мало, поэтому более рациональным, чем сплошное, является трубчатое поперечное сечение вала Ц при этом достигается большая экономия материала.

                                               τ_max =                                                   (2.16)

где  W_r = - полярный момент сопротивления сечения.

Найдем абсолютный угол закручивания вала j, так как , имеем

, откуда  .

Если на длине l крутящий момент, модуль сдвига и диаметр вала постоянны, то после интегрирования получим:

                                                                                                            (2.17)

Произведение GJ_p, стоящее в знаменателе, называется жесткостью сечения при кручении.

Условие прочности при кручении. Величина максимальных касательных напряжений в данном сечении равна:

                                                                                                     (2.18)

где [τ] Ц допускаемое касательное напряжение при кручении.

 С помощью условия прочности можно проверить прочность вала, определить допустимое значение момента на валу, а также провести проектный расчет Ц определить необходимый диаметр вала.

1. Проверка прочности (проверочный расчёт), когда известны наибольший крутящий момент и размеры поперечного сечения вала. Расчёт произвондится непосредственно по формуле (2.18).

2. Подбор сечения  (проектный расчёт). Решив неравенство (2.18) относительно W_r получим формулу для определения полярного момента сопротивнления, а значит диаметра вала, исходя из условия прочности:

W_ρ > ,

Для круглого сечения полярный момент сопротивления , откуда .

Для  кольцевого сечения  , где d и D Ц внутренний и наружный диаметры вала.

3. Определение допускаемого  крутящего момента, когда известны разнмеры сечения вала и задано допускаемое напряжение:

     T_кр = W_r [t_к ]

Расчёт на жёсткость. Расчётная формула на жёсткость при кручении имеет вид:

                                                    θ =  < [θ]          (2.19)

Величина допускаемых углов закручивания зависит от назначения ванла, и обычно принимается в пределах   [θ] =0,25...1 град/м

Эпюры крутящих моментов. Для наглядного изображения распределения крутящих моментов вдоль оси бруса строят  э п ю р ы  к р у т я щ и х  

м о м е н т о в.

Рис. 2.13

Для определения крутящего момента в сечении используют метод сенчений. Рассмотрим пример на рисунке 4.13. Вращающий момент подводится к валу (брус круглого сечения) от шкива 1 и снимается с вала через передающие шкивы 2,3,4 на другие валы механизма. Для определения крутящего момента в сечении  х = х₁  рассмотрим равновесие, например, левой части от сечения. Составим уравненние равновесия ,   откуда Т_кр  = М₁.

При рассмотрении равновесия правой части получим

В любом сечении вала действует крутящий момент, равный сумме крунтящих моментов, лежащих по одну сторону от этого сечения.

Диаграмму (рис. 2.13б), показывающую распределение значений крутящих моментов по длине вала, называют эпюрой крутящих моментов. Для построения таких эпюр следует придерживаться правила знаков. Принято считать, что если наблюдатель смотрит на поперечное сенчение со стороны внешней нормали и видит результирующий момент внешних пар, приложенных к рассматриваемой части вала, вращающим её в направлении против часовой стрелки, то крутящий момент считается положительным, а вращающий момент внешних сил - отрицательным. При противоположном направлении - наоборот. Эпюра крутящих моментов вала показывает степень нагруженности участков вала.

При расчёте валов на прочность часто задаётся не вращающий монмент, а мощность Р (кВт) передаваемая валом, и частота вращения вала n (об/мин). Тогда вращающий момент определяют по формуле:       

                                                                                                    М = 9554 (Нм).

Пример 4.2.  Проверить на прочность вал редуктора поршневого двигателя, если наружный диаметр его D=92мм, внутренний диаметр d=60мм, допускаемое напряжение для материала вала [τ ]=35МПа. Двигатель развивает мощность P=1050л.с. при оборотах вала редуктора n=1800 об/мин. 1л.с.=0,736 кВт.

Решение. Найдем полярный момент сопротивления и крутящий момент сечения

W_r = = 125 ╫10³мм³;  Т_кр = 9554 = 4180 Hм;

t_max = =  = 33,5 MПа < 35 МПа.

Максимальное касательное напряжение меньше допускаемого напряжения для материала вала, следовательно условие прочности выполняется.