Изгибом называется такой вид дефорнмации, когда под действием внеш-них сил в поперечных сечениях бруса возникают изгибающие моменты. Брусья, работающие на изгиб, называют балками. На изгиб работают ванлы, оси и другие детали конструкций.
Различают два основных вида изгиба: чистый и поперечный. Если применить метод сечений в случае чистого изгиба (рис. 2.14а), то отрезанная часть балки уравновешивается только моментом, а в случае поперечного изгиба (рис. 2.14б) Ц моментом и поперечной силой.
Чистый изгиб. Под действием изгибающих моментов брус изгибается так, что все поперечные сечения остаются плоскими и перпендикулярными искривлённой оси бруса (рис. 2.14в). При этом волокна, находящиеся на выпуклой части бруса, оказываются растянутыми, а на вогнутой - сжатыми. Таким обранзом, при чистом изгибе действуют только нормальные напряжения.
а б в
Рис. 2.14
а б
Из рис. 2.15 видно, что абсолютное удлинение волокон рассматриваемого слоя
а
относительное удлинение
Если точка О - общий центр кривизны деформированных слоев, то
и
,
где 
-
радиус кривизны нейтрального слоя;
d
-
центральный угол;
у - расстояние от нейтрального до рассматриваемого растянутого слоя.
Следовательно,
и
Таким образом, напряжения в сечении пропорциональны расстоянию у от нейтрального слоя и изменяются по линейному закону. Наибольшее напряжение испытывают волокна периферийного слоя при y = ymax
,
(2.20)
где s - напряжение в произвольной точке поперечного сечения при изгибе.
Чтобы выяснить зависимость
напряжений от действующих в сечении изгибающих моментов, выделим в сечении А
элементарную площадку 
А
(риc.
2.15б), расположенную на расстоянии у от нейтрального слоя. Элементарнная
сила s╫dA
создает момент s╫dA╫y.
Cуммируя
элементарные моменты в сечении и учитывая (2.20), получим полный момент по всей
площади сечения:
M =
s
╫
y ╫dA
= 
Введем геометрическую характеристику сечения -
-осевой
момент инерции поперечнного сечения.
Тогда
;
отсюда 
,
из формулы (2.20) 
,
т.е. 
или
Напряжение будет максимальным, если у = уmax.
(2.21)
Введем еще одну геометрическую характеристику
сечения - осевой момент сопротивления
,
характеризующий степень сопротивнляемости поперечного сечения изгибу
относительно нейтральной оси.
Окончательно получаем
smax
= 
(2.22)
Условие прочности
.
(2.22в)
Из этого условия прочности вытекают три задачи, решаемые при плоском изгибе:
1. Проектный расчет, т.е. определение необходимых размеров поперечного сечения
,
Для круглого сечения диаметром d:
Wx = 0,1d3 , (2.23)
для кольцевого сечения:
Wх =0,1(dн4-dв4)/dн, (2.23в)
для прямоугольного сечения:
Wx =bh2/6, (2.24)
где b - ширина бруса;
h - высота бруса.
Из последней формулы видно, что прочность бруса на изгиб зависит не только от формы поперечного сечения, но и от его положения, вертикальнное положение прямоугольного сечения более выгодно, чем горизонтальное (попробуйте согнуть школьную линейку, расположенную плашмя, а затем ребром).
Поскольку на изгиб работают главным образом периферийные слои, целесообразно применять брусья с сечениями, в которых работающий материал расположен дальше от нейтральной оси. Так, применение кольцевого сеченния (трубы) целесообразнее применения сплошного, прямоугольного выгодннее квадратного, причём, чем больше отношение h:b, тем лучше. Но наиболее выгодными являются специальные профили: двутавр и швеллер, конторые и имеют наибольшее применение и в строительстве и в машиностроеннии. Моменты сопротивления этих профилей приводятся в справочниках.
Опоры и опорные реакции балок. Балки служат для передачи действующих на них нагрузок на опоры, на которых они покоятся. На опорах балки возникают реакции, с определения которых следует начинать решение всех задач, связанных с изгибом балок. В зависимости от числа и устройства опор балки число реакций, подлежащих определению, бывает различно. Опоры балок по их устройству могут быть разделены на следующие три основных типа:
1) шарнирно-неподвижная опора,
2) шарнирно-подвижная опора,
3) жёстко-защемлённая опора.
Шарнирно-неподвижная опора показана на рисунке 2.16а. Конец балки опинрается на шарнир. Шарнир лежит на опорной подушке, которая в свою оче-редь жёстко прикреплена к опорной плоскости. Такая опора не даёт концу балки возможности передвигаться в каком либо направлении, позвонляя ему только поворачиваться относительно центра шарнира. В дальнейшем шарнирно-непод-вижную опору будем изображать схематически, как поканзано на рисунке 2.16б.
Рис. 2.16 Рис. 2.17 Рис. 2.18
Относительно реакции, возникающей в шарнирно-
неподвижной опонре, нам известно только, что она лежит в плоскости действия
нагружающих балку сил и проходит через центр шарнира. Величина и направление
реакнции нам не-известны. Неизвестную по величине и направлению реакцию
всегда
можно заменить двумя ее составляющими - одной вертинкальной
и
другой горизон-тальной 
.
Шарнирно-подвижная опора показана на рис. 2.17а. Такая опора отличанется от шарнирно-неподвижной тем, что у неё опорная подушка поставлена на катки, дающие ей возможность передвигаться вместе с концом балки вдоль её оси по опорной плоскости. В дальнейшем шарнирно-подвижную опору будем изображать схематически, как показано на рис. 2.17б.
Шарнирно-подвижная опора налагает на конец балки только одну связь Цона не даёт концу балки перемещаться в направлении, перпендикунлярном к оси балки. Следовательно, шарнирно-подвижная опора даёт лишь одну реакцию, неизвестную по величине, но известную по направлению.
Жёсткое закрепление конца балки показано
схематически на рис. 2.18. Такая опора препятствует всякому перемещению конца
балки в плоскости действия внешних нагрузок и, кроме того, препятствует вращению
конца балки. В жёстком защемлении возникает реакция, неизвестная по венличине и
направлению, препятствующая перемещению конца балки, и реактивнный момент,
препятствующий повороту конца балки. Неизвестную реакцию
всегда
можно заменить двумя составляющими - одной вертикальной
,
и другой горизонтальной .
На этом основании можно сказать, что на опоре, предснтавляющей жёсткое
защемление, возникают три неизвестные реакции: вертинкальная реакция
,
горизонтальная реакция и
опорный момент М.
Σ Xi =0, Σ Yi =0, Σ Мi = 0,
т.е. для равновесия балки необходимо, чтобы суммы проекций всех сил, при-ложенных к балке, вместе с реакциями опор на оси х и у были равнны нулю; кроме того, должна быть равна нулю и сумма моментов всех сил относительно любой точки плоскости.
Если силы, изгибающие балку, перпендикулярны к её оси, то уравнение Σ Xi = 0 обращается в тождество и для определения реакций остаются два уравнения статики:
1)∑Уi =0
2) 
.
Если балка при поперечном изгибе имеет такие опоры, что общее чиснло реакций, возникающих на опорах, не превышает двух, то реакции могут быть всегда определены из двух уравнений статики. Такие балки, реакнции которых могут быть определены из уравнений статики, называются статически определимыми балками.
Статически определимые балки могут быть только следующих двух виндов:
1) балка с одним жёстко-защемлённым и другим свободным концом, инанче консоль (рис. 2.19а);
2) балка с одной шарнирно-неподвижной и друнгой
шарнирно-подвижной опорами (рис. 2.19б и 2.19в).
Рис. 2.19
Рассмотрим на конкретном примере определение реакций статически определимых балок.
Предварительно условимся ось Х направлять всегда по оси балки, ось У Ц вертикально вверх. При составлении уравнений моментов за положинтельные моменты условимся считать моменты, направленные против часовой стрелки. Если на балку действует сплошная равномерно распределённая нагрузка, как показано на рис. 2.20, то при определении реакций сплошная нагрузка заменяется её равнодействующей. Точка приложения равнодействунющей сплошной распределённой нагрузки лежит посередине того участка, на который она действует. Сплошная равномерно распределённая нагрузка часнто задаётся её интенсивностью.
Под и н т е н с и в н о с т ь ю
распределённой нагрузки понимают величину нагрузки, приходящуюся на единицу
длинны. Если вся сплошная нагрузка равна
F,а
длина участка, на который она действует-
l,
то интенсивность нагрузки будет:
q
= 
.
Размерность интенсивности нагрузки выражается обычно в Н/м или Н/мм.
Пример 4.3. Балка, защемлённая одним концом (рис. 2.20), нагружена равномерно-распределённой нагрузкой интенсивности q =0,5кН/м по всей длинне балки и сосредоточенной силой F=2кН на свободном конце. Определить реакции защемления, если длина балки l=4 м.
Рис. 2.20
Решение. В защемлении возникают вертикальная реакция и реактивный момент. Направление этих реакций нам неизвестно. Направим пока произвольно вертикальную реакцию R вверх, а опорный момент М против вращения часовой стрелки. Напишем условия равновесия, выбрав за центр моментов точку А:
хMA
= M
Ц
Ц
Fl
= 0,
откуда величина реактивного момента
M
=
.
Из уравнения проекций сил на ось Y получаем: хUi = R Ц ql Ц F = 0, откуда реакция
R = ql + F = 0,5 ╫4 + 2 = 4 кH.
В данном случае момент М и реакция R получились положительнынми. Это указывает на то, что их направления нами были выбраны правильнно. Если после определения реакций какая-либо из величин получается со знаком минус, то это показывает, что предварительно выбранное направленние её не совпадает с действительным. Поэтому в этом случае направление реакции, полученной со знаком минус, следует изменить на чертеже на обнратное и в дальнейших расчётах учитывать её действительное направление.
Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил. Для оценки прочностной надёжности балки следует установить сеченния, в которых внут-ренние силовые факторы (поперечная сила Q и изгибаюнщий момент М) имеют максимальные значения. Анализ внутренних силовых факторов будет наглядным, если построить графики изменения поперечных сил и изгибающих момен-тов вдоль центральной оси балки. Эпюры строятся аналогично эпюрам продоль-ных сил и крутящих моментов. При построении эпюр положительные значения поперечных сил и моментов откладывают вверх от оси, отрицательные - вниз; ось эпюры проводят параллельно оси балки.
Рассмотрим простую балку, нагруженную двумя силами F1 и F2 (рис. 2.21). Пусть реакции на левой и правой опорах будут RA и RB. Для определенния внутренних сил упругости в каком-либо сечении балки применим метод сечений. Разрежем мысленно балку в сечении, отстоящем на расстоянии х от левой опоры балки, и рассмотрим левую часть балки, отбросив её правую часть.
Для того чтобы левая часть балки находилась в равновесии, в сеченнии должны действовать поперечная сила Q и изгибающий момент М. Из условия равновесия левой части балки имеем:
1) 
,
RA
Ц
F1
Ц Q
= 0, откуда Q
= RA
Ц
F1
2)
,
RA ·x Ц F1 (x Ц a) Ц M = 0,
откуда
М
= RA · x Ц
F1 (x Ц a)
Сила Q Ц результирующая внутренних сил, приложенная к оставшейся части балки, численно равная алгебраической сумме внешних сил, действуюнщих по одну сторону от сечения, называется поперечной или перерезываюнщей силой.
Момент пары внутренних сил, приложенный к оставшейся части балнки, численно равный алгебраической сумме моментов внешних сил, действуюнщих по одну сторону от сечения, называется изгибающим моментом в сеченнии.
Так как вся балка под действием внешних сил вместе с силами реакнций находится в равновесии, то сумма всех сил, действующих на часть балнки, лежащую левее сечения, должна быть равна сумме всех сил, действующих на часть балки, лежащую правее сечения, но иметь обратное направление.
По тому же условию равновесия момент равнодействующей пары всех сил, действующих левее сечения относительно центра тяжести сечения, долнжен быть равен моменту равнодействующей пары сил, действующих правее сечения относительно центра тяжести сечения, но иметь обратное направнление.
Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 2.22).
Рис. 2.22
Изгибающий момент положительный, если он изгибает балку выпуклостью вниз и изгибающий момент отрицательный, если он изгибает балку выпуклостью вверх.
Поперечная сила положительная, если равнодействующая внешних сил слева от сечения направлена вверх, а справа от сечения - вниз и наоборот.
Примеры построения эпюр. Рассмотрим ряд типовых примеров, содержащих наиболее часто встречающиеся случаи нагружения.
Рис. 2.23
Пример 1. При построении эпюр для балок с одним защемлённым концом можно не определять опорные реакции. Проведя сечение, будем рассматривать равновесие той части, к которой приложены только внешние активнные силы. Для балки (рис. 2.23а) такой частью будет левая. В произвольном сеченнии балки на расстоянии х = 0 от свободнного конца поперечная сила равна нулю Q = 0,так как внешняя нагрузка не даёт составляющей перпендикулярной оси балки.
Изгибающий момент в любом сечении равен внешнему моменту на свободном конце; он положителен, так как балка от действия внешнего момента получает положительную кривизну. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов построены на рис. 2.23б и 2.23в. Балка в рассмотренном примере испытывает чистый изгиб, так как попенречная сила во всех её поперечных сечениях равна нулю. Эпюра моментов при чистом изгибе представляет собой прямую линию, параллельную оси балки
.
Пример 2. Построим эпюры для балки с защемлённым концом, нагруженной сосрендоточенной силой на свободном конце (рис. 2.24а). Здесь можно не опреденлять опорных реакций. Проведя сеченние, будем рассматривать равновесие правой части, к которой приложены внешние активные силы. В любом сечении балки на расстоянии х от свободного конца поперечная сила равна силе F и положительна, так как внешняя сила стремится опустить правую часть балки (Q = F). Эпюра поперечных сил (рис. 2.24б) представляет собой прямую линию, параллельную оси балки.
Изгибающий момент в произвольном поперечном сечении балки на расстоянии х от свободного конца равен моменту внешней силы F относительнно центра этого сечения и отрицателен, так как эта сила изгибает балку выпуклостью вверх (стремится повернуть правую часть по часовой стрелке).
М = - Fх.
Эпюра изгибающих моментов Ц наклонная прямая (рис. 2.24в). Наибольшего по абсолютной величине значения изгибающий момент достигает в сечении заделки.
Значение поперечной силы в сечении защемленного конца совпадает с величиной опорной реакции, а значение изгибающего момента в этом сечении равно величине реактивного момента. Этими условиями можно пользоваться для проверки правильности построения эпюр в балках с одним защемленным концом.
Пример 3. Построим эпюры для балки с защемленным концом, к которой приложена нагрузка, равномерно-распределённая по всей длине
(рис. 2.25а). Пусть на единицу длины приходится нагрузка q, тогда вся нагрузка, действующая на балку, равна ql. Для этой балки также нет надобности в определении опорных реакций, если рассматривать равновесие левой части, к которой приложены только внешние активные силы.
Рис. 2.25
В любом поперечном сечении балки на растоянии х от свободного конца поперечная сила равна алгебраической сумме всех сил, действующих на левую часть, т.е. равнодействующей Q = -qx равномерно распределенной нагрузки q на участке длиной х. Она отрицательная, так как нагрузка qx направлена слева от сечения вниз, т.е. стремится опустить левую часть. Эпюра поперечных сил (рис. 2.25б) представляет собой прямую наклонную линию, которую можно построить, зная две точки. При х=0 имеем Q=0; при х=l ▐ Q= -ql. Наибольшее по абсолютной величине значение поперечной силы Q= -ql в сечении защемления. Изгибающий момент в произвольном сечении
M = -qx
=
- q
Так как сила qх изгибает балку выпуклостью вверх, изгибающий монмент отрицателен.
Эпюра изгибающих моментов Ц парабола (рис. 2.25в). Давая х различные значения, можно построить её по точкам. При х=0▐М=0; при х=l/2 ▐ М=- ql2/8; при х=l▐ M= - ql2 /2.
Наибольшего по абсолютной величине значения изгибающий момент достигает в сечении защемления.
Пример 4.Построим эпюры для двухопорной балки (рис. 2.26а) нагруженной силой F в произвольном сечении. Составим уравнения равновесия. Приравняв нулю сумму моментов всех внешних сил сначала относительно правой опоры, а затем относительно левой, найдём опорные реакции
хMB = 0; F╫b - RA╫l = 0,
хMA = - F╫a + RB╫l = 0,
откуда
RA = F b /l, RB = F a /l.
Законы изменения Q и M на участках АС и СВ различны, поэтому расснмотрим каждый участок отдельно.
Рис. 2.26
Поперечная сила на всем участке АС равна реакции
RA,
она постояннна по всей длине
участка и положительна, так как сила
RA,
действующая на левую часть направлена вверх, т.е. поднимает левую часть,
Q
= RA
=
.
Поперечная сила в любом сечении на участке СВ
равна разности сил RA
и F
и также постоянна по всей длине участка, т.е.
Q = RA Ц F = -RB
= -
.
Поперечная сила отрицательна, так как сила RB поднимает правую часть балки. Эпюра поперечных сил показана на рис. 2.26б. В сечении С, где приложена сила F, поперечная сила претерпевает разрыв на величину F и меняет знак.
Найдём выражение изгибающего момента в любом сечении на первом участке при изменении х1 в пределах: 0 < х1 <а;
M = RA
x1
= 
.
Согласно принятому
правилу знаков, момент положителен, так как сила RA
стремится повернуть левую часть вокруг сечения по часовой стрелке. Полученное
для изгибающего момента уравнение определяет прямую линию, которую
можно построить по двум точкам; при х1=0, т.е. в сечении на левой
опоре 
М=0;
при х1=а, т.е. в сечении под силой F
.
Составим выражение изгибающего момента для любого поперечного сенчения второго участка при изменении х2 от а до l: a < x2 < l
M = RA x2 Ц F(x2 Ц a) = F b x2/l Ц F(x2 Ц a)
Знаки моментов сил поставлены в соответствии с
приведённым выше правилом. Изгибающий момент на втором участке изменяется также
по закону прямой линии; найдём две точки этой линии. При х2 = а, т.е.
в сечении под силой F
;
при х2=l,
т.е. в сечении на правой опоре,
.
Таким образом, полная эпюра изгибающих моментов при заданном нагружении представляется на каждом участке наклонной линией и имеет для балки вид треугольника (рис. 2.26в). Изгибающий момент во всех сечениях положителен. Из сопоставления эпюр Q и М следует, что изгибающий момент имеет наибольшую величину в том сечении, в котором поперечная сила меняет знак. Значение этого наибольшего момента
.
Пример 5. Построим эпюры для двухопорной балки, к которой приложена равномерно-распределённая нагрузка интенсивностью q (рис. 2.27а). Составив и решив уравнения равновесия, найдём опорные реакции:
хMA
= 0;
-
,
хMB
= 0;
,
откуда
Для проверки составляем сумму проекций на вертикальную ось
хY = 0; RA - ql + RB = 0; ql /2 Ц ql + ql /2 = 0.
Уравнение обращается в тождество, значит реакции вычислены верно. Проводим произвольное поперечное сечение на расстоянии х от опоры А и рассматриваем левую отсеченную часть. Поперечная сила определится из выражения
,
при x = 0
▐
;
при x = 
▐Q
= 0; при x =
l
▐
.
Эпюра Q изображена на рис. 2.27б.
Изгибающий момент в проведенном сечении определится из выражения:
,
при x= 0
▐
М = 0; при х=
▐
;
при х = l
▐
M=
0.
Эпюра изгибающего момента изобразится параболой
(рис. 2.27в). Посередине балки при х =
l/2
поперечная сила изменяет знак. В этом сечении изгибающий момент имеет наибольшее
значение 
.
Пример 6. Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для простой балки, нагруженной сосредоточенной парой сил с моментом m (рис. 2.28a).
Определяем опорные реакции: реакнция RA - направлена вверх, RB - вниз. Составим уравнения суммы моментов относительно опорных точек А и B, получим:
МА=
0; -RB l + m= 0; RB= m/l.
МB=
0; - RA l + m= 0; RA= m/l.
Опорные реакции балки образуют пару сил, момент которой уравновешинвает момент приложенной пары.
Рис. 2.28
Делим балку на два участка. Первый участок - от опоры А до точки приложения сосредоточенного момента; х1 изменяется от 0 до а. Второй участок- от точки приложения момента до опоры В; х2 изменяется от а до l. Проводим произвольное сечение на первом участке на расстоянии х1 от опоры А и рассматриваем левую отсечённую часть. Поперечная сила на этом участке постоянна, равна реакции RA и положительна, так как эта ренакция стремится приподнять левую отсечённую часть: Q1= RА = m/l.
Эпюра поперечных сил изображена на рис. 2.28б. Изгибающий момент на первом участке зависит только от силы RА.
M1= RАx1 = mx1/l.
При х1 =0 ▐ M1= 0; при х1= а ▐ M1 = mа/l.
Момент положителен, так как сила RА изгибает балку выпуклостью вниз. Эпюра моментов на первом участке - наклонная прямая (рис. 2.28б). На втором участке - поперечная сила будет такой же, как на первом, сосредоточенный момент не влияет на поперечную силу: Q2 = RB = m/l
Изгибающий момент на втором участке при рассмотрении левой отсечённой части зависит от реакции RA и сосредоточенного момента m.
M2= RAx2 Цm = mx2/l Ц m = m (x2 Ц l)/l;
при х2 = а ▐ M2= m (a Ц l)/l = -m (l Ц a)/l = -mb/l;
при х2 = l ▐ M2= 0.
Эпюра моментов на втором участке (рис. 2.28в), как и на первом, наклонная прямая. Под сечением, где приложена сосредоточенная пара, в эпюре моментов имеет место скачок, равный величине момента пары, так как:
ma/l + mb/l = m(a + b)/l = ml/l = m.
Взаимосвязь между нагрузками и видом эпюр поперечнных сил и изгибающих моментов. Рассмотрев примеры построения эпюр поперечных сил и изгибающих монментов, можно установить следующие зависимости:
Для эпюры поперечной силы:
1. На участках, нагруженных равномерно-распределённой нагрузнкой, эпюра - наклонная прямая; наклон этой прямой к оси зависит от интенсивности нагрузки.
2. На участках, свободных от распределённой нагрузки, эпюра - прянмая, параллельная оси балки.
3. Под сечениями балки, где приложены сосредоточенные силы, в эпюре поперечных сил имеются скачки, равные величинам приложенных сил.
4. В сечениях, где приложены сосредоточенные пары сил, значение понперечной силы не изменяется.
5. В концевых сечениях балки поперечная сила численно равна сосрендото-ченным силам (активным или реактивным), приложенным в этих сеченинях. Если в концевых сечениях не приложены сосредоточенные силы, то поперечная сила в них равна нулю.
Для эпюры изгибающих моментов:
1. На участках, несущих равномерно распределённую нагрузку, эпюра монментов - квадратная парабола. Выпуклость параболы направлена навстречу нагрузке.
2. На участках, свободных от равномерно-распределённой нагрузнки, эпюра моментов - прямая линия. Под сосредоточенными силами на эпюре получаются изломы, т.е. для нескольких смежных участков эпюра изгибаюнщих моментов - ломаная линия.
3. Под сечением балки, где приложена сосредоточенная пара сил, в эпюре изгибающих моментов имеется скачок, равный величине момента приложенной пары сил.
4. Изгибающий момент в концевых сечениях балок всегда равен нунлю, если в сечениях не приложены сосредоточенные пары сил. Если в конценвых сечениях приложены внешние (активные или реактивные) пары сил, то изгибающий момент в этих сечениях равен по величине моменту приложеннных пар.
5. На участках, где поперечная сила равна нулю, балка испытывает чистый изгиб и эпюра изгибающих моментов - прямая, параллельная оси балки.
6. Изгибающий момент получает максимальное значение в одном из сенчений балки, где изменяется знак поперечной силы.
Приведенные выводы о взаимосвязи эпюр М и Q между собой и с внешней нагрузкой позволяют обходиться без составления уравнений изгибающих моментов и поперечных сил для каждого участка балки. Достаточно вычиснлить ординаты эпюр для характерных сечений и соединить их линиями в соответствии с изложенными выше правилами. Характерными явнляются сечения балки, где приложены сонсредоточенные силы и моменты (включая опорные сечения), а также сечения, ограничивающие участки с равномерно распределённой нагрузкой. Для определения максимальных значений изгибающих монментов дополнительно вычисляют моменты в сечениях, где поперечные силы равны нулю.
Построение эпюр без составления уравнений даёт особенно значительный эффект для балок, нагруженных сложной нагрузкой (имеющих много участков нагружения), так как вычисления при этом менее трудоёмнки, чем при построении эпюр по уравнениям.
Касательные напряжения при изгибе. В случае поперечного изгиба внутренние силы в брусе уравновешиванют изгибающий момент и поперечную силу. Изгибающий момент уравновешивается нормальными напряжениями, а поперечная сила - касательными, которые пропорциональны поперечной силе Q. Средняя величина этих касательных напряжений определяется по известной нам формуле:
Если положить два бруса один на другой и
изгибать их силой F, то каждый брус будет деформироваться независимо от другого;
нижние волокна будут растягиваться, а верхние - сжиматься. По плоскости
соприкосновения один брус будет скользить по другому и концевые сечения брусьев
разойндутся. Чтобы заставить брусья работать как одно целое, нужно по плоскоснти
соприкосновения приложить касательные усилия
,
как показано на рис. 2.29б. В целом брусе верхняя часть не может сдвинуться
относительно нижней; это и вызывает действие касательных усилий (напряжений) по
плонщадкам, параллельным нейтральному слою, т.е. между горизонтальными слоями
бруса.
Формула для определения касательных напряжений в балках симметричнного сечения была впервые выведена в 1895 г. русским инженером мостостроителем Д.И.Журавским. Потребность в такой формуле была вызвана тем, что в прошлом веке при строительстве мостов широко применялись денревянные конструкции, а балки из древесины обычно имеют прямоугольное сечение и плохо работают на скалывание вдоль волокон.
Рис. 2.29
Формула имеет следующий вид:
,
(2.25)
где Q- поперечная сила в сечении;
Sх- статический момент относительно нейтральной оси части поперечнного сечения, расположенной по одну сторону от рассматриваемых волокон;
Jx Ц момент инерции сечения относительно нейтральной оси;
b
Ц ширина сечения на уровне волокон, где определяются напряжения. Для
прямоугольного сечения: Sx
= 
,
Jx
=
,
тогда t
=
.
Так как
Ц
среднее касательное напряжение, то максимальные касательные напряжения в 1,5
раза больше средних. Касательные напряжения достигают больших значений только
при 
>
.
В других случаях они невелики.
Проверку прочности балки по касательным напряжениям необходимо делать при очень коротких балках и при резко меняющихся размерах сечения по высоте.
Понятия о линейных и угловых перемещениях. При изгибе сечения балки перемещаются перпендикулярно к оси балки и поворачиваются вокруг своих нейтральных осей (рис. 2.30). Возможны случаи, когда балка, удовлетворяя условию прочности, не обладает достаточнной жёсткостью, т.е. прогибы и углы поворота сечения недопустимо велики.
Рис. 2.30
Допустимый прогиб балок в машиностроении очень невелик. Обычно он назначается в долях от пролёта балки и составляет от 1/200 до 1/1000 пролёта (межопорного расстояния).
Величины прогибов и углов поворота в зависимости от балки и схемы её нагружения можно найти в справочной литературе.
