Статика

Пример 1. Ось одного из колес шасси вертолета крепится к фюзеляжу с помощью трех шарнирно закрепленных подкосов 1, 2, 3. Подкос 2 расположен в плоскости  XOZ, а подкос 3 – в плоскости YOZ.  Колесо нагружено тремя силами: F₁= 4 кН, F₂ =25 кН, F₃ =8 кН, углы α = 30°, β = 60°. Определить усилия в подкосах 1, 2, 3, считая, что линии действия всех сил пересекаются в точке  О. Весом подкосов пренебречь.

                                                       

                                                   

Рис. 1

Решение. Рассмотрим равновесие колеса. На колесо действуют три активные силы , ,  и наложены связи – невесомые стержни 1, 2, 3. На основании аксиомы освобождаемости от связей, мысленно отбрасываем связи, заменяя их действие реакциями , ,, направленными от узла (растянутыми).

Составляем уравнения равновесия для колеса, находящегося под действием пространственной системы сходящихся сил , ,, ,  и . Силы , ,  и  лежат в плоскости XOZ, силы  и  лежат в плоскости ZOY:

 

  

 

  

         Знак “минус” в полученных значениях усилий  и  означает, что эти стержни в действительности сжаты.

Пример 2. Полетный вес самолета G = 30 кН, сила тяги P = 5 кН и проходит через центр тяжести самолета. Даны расстояния: a = 0,1 м; b = 0,06 м; L = 5 м. Найти подъемную силу`, силу лобового сопротивления  и силу`, нагружающую горизонтальное оперение, если самолет находится в равновесии.

Рис. 2

Решение. Рассмотрим равновесие самолета, к нему приложены две заданные силы, сила тяги  и вес  и три искомые силы: подъемная , сила лобового сопротивления  и сила, действующая на горизонтальное оперение`.

Поместим начало координат в центре тяжести самолета, в точке C, ось X направим по направлению полета, ось У  по вертикали вверх. Имеем плоскую систему произвольно-расположенных сил, составим три уравнения равновесия:

X_i  = 0;  P – Q = 0;      Q = P = 5 kH;

Y_i = 0;  Y – Y_г.о.  – G = 0;

M₀(F_i) = 0; –  G·a + Y_г.о.·(L – а) –  P·b = 0;

Y_г.о. = P·b + G·a / L – a = 5·0,06 + 30·0,1 /4,9 = 673 H.

Из второго уравнения:

                                  Y = Y_г.о. + G = 30,673 kH.

Кинематика

Пример 3. При взлете самолет совершает разбег по закону x = 1,8t², где

x измеряется в метрах, а время t – в секундах. Определить длину и время разбега, если скорость отрыва равна 320 км/ч.

Решение. Находим скорость самолета при разбеге в зависимости от времени V = dx/dt = 3,6t м/с. Учитывая, что конечная скорость разбега равна скорости отрыва V_отр = 320км/ч  89 м/с, определяем время разбега:

V_отр = 3,6t =>   t = V_отр/3,6 = 24,7 c.

Тогда длина разбега l = x = 1,8t² = 1097 м.

Пример 4. При штопоре центр масс спортивного самолета движется согласно уравнениям: x = 8sin 1,8t;  y = 8cos 1,8t;  z = 34t + 3t², где координаты x, y, z измеряются в метрах, а время t – в секундах. Ось OZ направлена вниз. Определить скорость, полное, касательное, нормальное ускорения и радиус кривизны траектории самолета в начальный момент времени.

Решение. Находим скорость центра масс самолета для момента времени  t = 0:

полное ускорение:

 

Находим касательное ускорение

Вычисляем нормальное ускорение из формулы

Определяем радиус кривизны траектории:

Пример 5. Посадочная скорость самолета V₀ = 288 км/ч = 80 м/с, ускорение от сил торможения постоянно и равно = 4 м/с². Определить уравнение движения самолета после приземления, длину и время пробега.

Решение. По известным кинематическим характеристикам движения точки найдем уравнение движения. Движение самолета замедленное.

Запишем выражения для равнопеременного движения

   и       ,

т.к. скорость в конце пробега будет = 0, то время

 

t = V₀ /a_x  = 20 c,

тогда длина пробега

L = S = 8C·20 – 4·400/2 = 800 м.

Вращательное движение твердого тела

Пример 6. С момента выключения мотора пропеллер самолета, вращающийся с угловой скоростью, соответствующей n = 1200 об/мин, сделал до остановки 80 оборотов. Найти, сколько времени прошло с момента выключения мотора до остановки пропеллера, считая его вращение равнозамедленным.

Решение. Воспользуемся формулами равнопеременного вращения тела:                                  и 

считая  = 0 и в момент остановки ω = 0 будем иметь:

 и 

Если пропеллер сделал 80 оборотов, то его угол поворота φ = 2π80 = 160π радиан, причем ω₀ = πn/30 = 40π 1/с.

Таким образом получаем два уравнения:

Отсюда находим:

ε = 40π/t;     160π = 40πt – ,

следовательно

t =

Пример 7. При выходе на рабочий режим ротор газотурбинного авиадвигателя вращается согласно уравнению  φ = 200πt + 15πt² , где φ измеряется в радиалах, а время t – в секундах. Определить скорость и ускорение расположенного на расстоянии R = 475 мм от оси вращения центра тяжести лопатки ротора через 4 с после начала вращения.

Решение. Используя дифференциальные зависимости между углом поворота и угловой скоростью, угловой скоростью и угловым ускорением:

 и

найдем 

Находим скорость и ускорения центра тяжести лопатки

V = ω ·R = 320π  ·0,475 = 477,3 м/с,

касательное ускорение – a_t = e × R = 30p × 0,475 = 44,8 м/с²,

нормальное ускорение – а_n = w²×R = (320p)²× 0,475 = 479570,9 м/с².

При вращении тел с большими угловыми скоростями, касательное ускорение точки ничтожно мало по сравнению с нормальным ускорением, поэтому принимаем ускорение центра тяжести лопатки

Пример 8. Зубчатое колесо 1 с числом зубьев z₁ = 80 начинает вращаться равноускоренно из состояния покоя с угловым ускорением ε = π 1/c² и приводит в движение находящееся с ним во внутреннем зацеплении колесо 2 с числом зубьев z₂ = 20.

Определить угловую скорость колеса 2 и ускорение точки В, лежащей на ободе этого колеса через 10 с после начала движения, если радиус колеса 2 равен r₂ = 150 мм.

Решение. Допустим, что колесо 1 вращается в направлении, противоположном движению часовой стрелки, тогда скорость точки С зацепления колес будет направлена как указано на рис. 6 и, следовательно, колесо 2 будет вращаться в том же направлении, что и колесо 1, т. е. против часовой стрелки.

Для скорости точки С, принадлежащей одновременно и колесу 1 и колесу 2, будем иметь:

V_c = ω₁ ·r₁ = ω₂ ·r₂,

где ω₁ и ω₂ – угловые скорости колес 1 и 2, а r₁ и  r₂ – их радиусы. Следовательно,  Но  2π r₁ = z₁· p, а  2π r₂ = z₂· p,  где p – шаг зубчатых колёс,  отсюда

 или , а потому , т.е. угловые скорости сцепленных зубчатых колес обратно пропорциональны числам их зубьев,

Рис. 3

следовательно,

согласно формуле ω = ω₀ + εt, получим ω₁ = ε₁·t = π·t 1/c, а потому ω₂ = 4πt 1/c,

при t = 10 c, ω₁ = 10π 1/c, ω₂ = 40π 1/c.

Угловое ускорение второго колеса будет равно

Найдем скорость и ускорения точки В:

V_в = w₂×r₂ = 40p×0,15 = 6p = 18,8 м/с;

= e₂×r₂ = 4p×0,15 = 0,6p = 19 м/с²;

_>= w² ₂ ×r₂ = (40p)² ×0,15 = 240p²  = 2366,3 м/с²;

а_в == 2366,3 м/с².

Плоскопараллельное движение твердого тела

Пример 9. Кривошип ОА = r = 20 см центрального кривошипно-ползунного механизма ОАВ вращается с постоянным угловым ускорением

ε₀ =  π/4 с^-2 и с помощью шатуна АВ = l₂= 60 см приводит в движение ползун В, перемещающийся в горизонтальных направляющих вдоль прямой, проходящей через ось шарнира  О (рис.4).

Для момента времени t₁ = 2c построить мгновенный центр шатуна АВ и определить скорость и ускорение ползуна В, а также угловую скорость и угловое ускорение звена АВ, если φ₀ = - 5/4π рад, ω₀ = π 1/с.

Решение. Строим в масштабе механизм для заданного момента времени  t₁ = 2 сек. Предварительно вычисляем угол φ, определяющий положение кривошипа. При ε₁ = const вращение кривошипа будет равнопеременным, и угол φ будет изменяться по закону:            

Подставив значения φ₀ , ω₀ , ε , получим

при t = 2 с,  φ = 45^° (рис.4).

Рис. 4

В рассматриваемом механизме кривошип является ведущим звеном, так как движение его задано. Находим скорость точки А, принадлежащей одновременно кривошипу и шатуну АВ

V_A = r ·ω.

Вектор скорости  перпендикулярен оси кривошипа.

Угловую скорость ω₁ кривошипа найдем из выражения

тогда                                V_A = 0,2 ×p/2 = 0,1p м/с.

Ползун В совершает поступательное движение, и направление вектора V_B его скорости нам известно.

Определяем мгновенный центр скоростей шатуна АВ. Он лежит в точке Р пересечения перпендикуляров к векторам скоростей  и    .

Перейдем к определению модуля скорости V_B, который может быть определен с помощью теоремы о проекциях скоростей двух точек тела и с помощью мгновенного центра скоростей.

Применим оба способа.

1.                                    

откуда   

                                             

Угол α определим из треугольника ОАВ по теореме синусов

.

После преобразований для  можно получить такое выражение:

2.                       

Расстояния АР и ВР определяем из треугольника АВР. В нем известны все углы и сторона АB = l₂.

На основании теоремы синусов

_>

откуда       

или                           

Подставляя в выражение для скорости , имеем

получили то же самое выражение, что и первым способом.

Определяем угловую скорость шатуна АВ:

таким образом, в момент t₁ = 2 c угловая скорость ω₂ = ω_АВ = 0,38 1/с.

Определяем ускорение ползуна В.

Вектор ускорения  направлен вдоль прямой ОВ (рис.4)

Вычислим модули векторов , , _>:

;

Ускорение  определяем по формуле

Спроецируем векторное равенство для  на прямую АВ и ей перпендикулярную:

<![endif]-->

откуда

при  t₁ = 2 c   ,

.

         Таким образом, угловая скорость шатуна ω_АВ и его угловое ускорение ε_АВ имеют разные знаки. Следовательно, движение шатуна происходит замедленно.

Сложное движение точки

Пример 10. Вертолёт снижается вертикально согласно уравнению

Z = 5t + 2t²,

а его несущий винт вращается по закону

φ = 30t + 3t²,

где z – координата (м); φ – угол поворота (рад); t – время (с). Ось  OZ направле-на вниз. Определить абсолютное ускорение точки лопасти винта, лежащей на расстоянии 2 метра от оси вращения в момент времени t = 2 с (рис.5).

Решение. Неподвижную систему отсчёта свяжем с Землёй, а подвижную – с вертолётом. Тогда вращение винта по закону φ = ƒ(t) будет представлять собой относительное движение, а движение вертолёта вниз – переносное. Скорость и ускорение переносного движения будут равны

Ve =  = 5 + 4t  =13 м/c,

αe =  = 4м/с2.

Рис. 5

                     

Векторы  и  будут направлены по оси Z вниз. Относительное движение – вращение винта, тогда 

                                                   

ω_r =  = 30 + 6t = 42 1/c, а  ε_r =  = 6  1/с² .

Относительная скорость точки будет направлена по касательной к траектории движения точки лопасти, расположенной на расстоянии r = 2 м от оси вращения

                                         V_r = ω_r · r =42 · 2 = 84 м/c.

Ускорения точки лопасти будут найдены по формулам:

α_rⁿ = ω_r² · r = 42² ·2 = 3528 м/c²,

α_r^τ = ε_r  · r = 6  · 2 = 12 м/c².

Векторы ускорений будут лежать в плоскости вращения винта и направлены: – от точки к центру вращения,  – по касательной к траектории движения точки лопасти.

Абсолютное ускорение найдём из проекций всех ускорений  на координатные оси

Пример 11. Диск радиусом 1 м вращается вокруг неподвижной оси, перпендикулярной плоскости  диска, по закону φ = 2/3πt³. По ободу диска перемещается точка М с относительной скоростью V_r = 10 м/с. Для момента времени t = 1 c определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М.

Рис. 6

Решение. Вращение диска относительно оси О – переносное, движение точки М по ободу диска – относительное. Вектор относительной  скорости перпендикулярен отрезку ОМ в сторону вращения

V_e  = w_e × OM = j ·R = 2π ·R = 2π.

Абсолютная скорость

Модуль абсолютной скорости найдём по теореме косинусов 

Абсолютное ускорение найдём по выражению

так как переносное движение – вращательное вокруг оси, то  в относительном движении точка М движется по ободу диска, следовательно

тогда полное выражение для абсолютного ускорения будет представлено в следующем виде

Каждое из ускорений найдём по модулю и покажем по направлению (рис.6):

  

Для определения направления ускорения Кориолиса , повернём вектор относительной скорости  в сторону переносного вращения на угол 90°. Проведём через точку М оси координат и, спроецировав все ускорения на оси, найдём абсолютное ускорение:

Динамика

Пример 12. Самолет выполняет горизонтальный вираж согласно уравнениям x = 150sin 0,2t; y = 150cos 0,2t; z = 1200, где x,y,z измеряются в метрах, а  время t – в секундах. Масса пилота равна 80 кг. Определить равнодействующую сил, с которой кресло и привязные ремни действуют на пилота.

Решение. Используя дифференциальные уравнения движения, определяем проекции искомой силы на оси координат:

R_x = m x¢¢ = – 80×6sin 0,2t;

R_y = m y¢¢ = – 80×6cos 0,2t;

R_z = mg + mz¢¢ = 80×9,81 = 784 H.

Вычисляем модуль равнодействующей

R =

Пример 13. В режиме прямолинейного горизонтального полета пилот включил форсаж двигателя и самолет начал двигаться по закону x = 200t + 2,5t², где x измеряется в метрах, t – в секундах. Определить силу лобового сопротивления Q, если тяга двигателя на форсаже P = 55 kH, а масса самолета m = 7000 kг.

Решение. Задача относится ко 2-й основной задаче динамики. Составляем дифференциальное уравнение движения материальной точки.

mx² = P – Q;  7000 ·5 = 55 ·10³ – Q;

Q = 55·10³  + 35· 10³ = 20 kH.

Пример 14. Во время взлета самолет отрывается от земли при скорости 320 км/ч. Колесо его шасси диаметром 600 мм и массой 60 кг продолжает вращаться после отрыва. Какой момент сил трения тормоза необходим для того, чтобы остановить колесо в течение 2 с? Колесо считать однородным диском. Трением в подшипниках пренебречь.

         Решение. При решении задачи воспользуемся теоремой об изменении момента количества движения колеса относительно оси вращения oz: dL_z/dt = M_ze. Разделим переменные и проинтегрируем, получим  L_z – L_zo  = M_ze·t.

         Колесо остановится, следовательно L_z = 0. Кинетический момент вращающегося твердого тела   L_zo = J_z ·w, где  J_z = mR²/ 2,  M_ze = –M_тр – искомый момент трения тормоза, направленный против вращения колеса,  w_о = V/ R – начальная угловая скорость вращения колеса в момент отрыва от земли.

         Окончательно получим 

J_zw_o/t = M_тр  Þ М_тр =  = = 400 Нм.

Пример 15. Посадочная скорость самолета 180 км/ч, коэффициент трения скольжения колес самолета о бетон посадочной полосы f = 0,5. Определить тормозной путь самолета, полагая, что сила тяги холостого хода двигателя уравновешивается силой лобового сопротивления. Подъемной силой пренебречь.

Решение. Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии самолета на участке торможения:         

 = A_F

Учитывая, что конечная скорость самолета V₂ равна нулю, это выражение будет иметь вид

– m V/2 = A_F

Поскольку сила тяги холостого хода двигателя и сила лобового сопротивления взаимно уравновешиваются, а сила тяжести и подъемная сила перпендикулярны перемещению самолета и, следовательно, не совершают  работы при торможении, то работу совершает только сила трения.

Согласно закона Кулона модуль силы трения скольжения равен F_тр = fN = fmg, где принято, что сила нормального давления на колеса равна силе тяжести. Работа силы трения на тормозном пути  L определяется

A_F = F_тр·ds = - f mg L.

Таким образом, окончательно получаем  – = – f mg L, отсюда

L = = = 255 м.

Пример 16. Самолет совершает посадку, имея некоторую вертикальную скорость снижения. Вес самолета G = 450 kH. Жесткость амортизационной системы с = 2·10³ kH/м. Предполагая, что за время срабатывания амортизационной системы горизонтальная скорость самолета остается неизменной, а среднее значение подъемной силы  Y = 416 kH, наибольшая осадка самолета h = 0,2 м. Определить вертикальную скорость посадки.

Решение. Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии материальной точки

  = A_F.

Рассматривая только вертикальное движение самолета на участке от ненагруженного положения амортизаторов (момент посадки) до их полной деформации на 0,2 м, получим V₂ = 0, V₁ – требуется определить. Работу будут совершать сила тяжести – А_mg = mgh, подъемная сила – А_Y = Yh, упругая сила амортизаторов – А_Fyпр = - сh²/2.

Подставим в выражение кинетической энергии и получим

 = mgh – Yh -,

откуда                           

V₁ = = 1,2 м/с – жесткая посадка.

Пример 17. Самолет весом G делает правильный вираж. Скорость самолета на вираже 200 м/с. Угол крена 45⁰. Найти  радиус виража и время t виража.

Решение. При правильном вираже центр тяжести самолета движется с постоянной по величине скоростью, тогда к заданным силам тяжести  и подъемной  добавим центробежную силу инерции`Ф_n.

Спроецируем данное выражение на оси Х и У

         Y sin γ – Ф_n = 0;                                        (1)

               Y cos γ – G = 0.                                             (2)

Из (2)  Y = , подставим в (1)

G tgγ – Ф_n = 0,

где  Ф_n = ,  тогда       

Время виража              

t =

Сопротивление матеоиалов

Пример 18. Проверить на прочность по допускаемой нагрузке стойку шасси самолета, воспринимающую нагрузку 1000 кН. Поперечное сечение стойки составляет 6000 мм², материал – 30ХГСА, коэффициент безопасности равен 2.

Решение. 1. Согласно справочным данным находим для стали 30ХГСА предел текучести

σ_т  = 800 МПа.

2. Определяем допускаемую нагрузку на стойку

[F] = = 600 ·800 /2 = 2400 kH.

Эксплуатационная  нагрузка  F_э = 1000 кН  меньше  допускаемой  нагрузки

[F] = 2400 kH, т.е. F < [F]  условие прочности по допускаемой нагрузке выполняется.

3. Сделаем проверку по напряжениям

[] = [F] / A = 2400  ·10³/ 6000 = 400 MПа.

Максимальное напряжение, исходя из эксплуатационной нагрузки

= F_э / А = 1000  ·10³/6000 = 166,6 МПа,

т.е. < [σ]  и условие прочности выполняется.

Пример 19. Проверить на прочность трубчатую дюралюминиевую тягу управления самолетом, если наибольшая растягивающая сила F = 3,5 kH, наружный диаметр тяги 20 мм, внутренний 15 мм, предел прочности для дюралюминия 400 MПа, запас прочности [n] = 5.

Решение. 1. Найдем площадь поперечного сечения тяги. Площадь кольцевого сечения

А =

2. Нормальное напряжение в тяге будет

σ =  МПа.

3. Зная необходимый запас прочности, определяем допускаемое напряжение

[σ] =  МПа.

4. Так как напряжение в тяге  σ = 25,5 МПа меньше допускаемого напряжения [σ] = 80 МПа, то прочность тяги вполне обеспечена. Большая разница между действительными и допускаемыми напряжениями обусловлена соображениями устойчивости, так как тяга должна воспринимать не только растягивающую, но и сжимающую нагрузку.

Пример 20. Определить напряжение среза в поршневом пальце с внутренним диаметром 20 мм и наружным диаметром 30 мм, если диаметр цилиндра 150 мм, наибольшее избыточное давление газов в цилиндре 6 МПа (рис.7).

Решение. 1. Определяем давление на дно поршня

F = р =105975 МПа

2. Определяем площадь (их будет две) среза пальца

А =  = 785 мм²

3. Определяем напряжение среза

τ = F/А_ср =  = 135 МПа.

Рис. 7

Пример 21. Определить напряжение в стенках вала двигателя ВК-1, если наружный диаметр вала 92 мм, внутренний диаметр 76 мм, мощность, передаваемая валом, 13500 л.с., число оборотов 11560 в мин.

Решение. 1. Определяем величину крутящего момента

Т_к = 9554·Р/n = 8211,9 Нм.

2. Величину полярного момента сопротивления определяем по формуле

W_ρ =  = 81650,9 мм³.

3. Определяем величину наибольших касательных напряжений

100,6 МПа.

Пример 22. Определить касательные напряжения t в обшивке фюзеляжа кругового сечения, подкрепленной одинаковыми стрингерами, при действии на вертикальное оперение силы F_в.о. = 300 кН, h = 2м, d = 3мм, R = 800 мм (рис.8).

Решение. 1. При действии силы F_в.о.  фюзеляж будет испытывать кручение. При этом крутящий момент

      Рис. 8

Т_кр = F_в.о.×h = 300×2 = 600 кНм.

Величина погонных касательных потоков

Находим касательные напряжения в обшивке

Пример 23. Найти нагрузку Р на ручку управления рулем высоты, уравновешивающую расчетный шарнирный момент М_ш = 360 Нм, а также проверить на прочность и вибрации тягу 5-6, если длина тяги 1,2 м, изготовлена из трубы  35х32 мм,  материал  –  дюралюмин  Д16Т,  имеющий  s_в = 420  МПа, Е = 0,7×10⁵ МПа, при следующих данных: r₁ = 50 мм, r₂ = 60 мм, r₃ = 80 мм, r₄ =100 мм, r₅=120 мм, r₇ = 100 мм, H = 600 мм, a₁=30^°, a₂=30^°, a₃=8^? (рис.9).

На самолете установлен двигатель, имеющий на основном эксплуатационном режиме работы число оборотов n_эксп = 1600 об/мин.

Рис. 9

Решение. 1. Определяем нагрузку на ручку. Усилие S_1-2 находим из рассмотрения равновесия руля

åМ₀ = 0  S_1-2×r₁ cosa₁ – M_ш = 0,

S_1-2 = .

Усилия во всех остальных тягах находим из условия равновесия качалок или рычагов относительно их осей вращения:

åМ_3-2 = 0;  S_3-4×r₃ – S_1-2×r₂ =0;    S_3-4 = ,

åМ_4-5 = 0;  S_5-6×r₅ cosa₂ – S_3-4×r₄ = 0;   S_5-6 = ,

åМ_6-7 = 0;  S_6-7×r₆×cosa₃ – S_5-6 ×r₆ = 0;   S_6-7 = .

Найдем нагрузку на ручку Р

åМ₈ = 0;  PH – S_6-7×r₇×cosa₃ = 0;  P =

По нормам прочности нагрузка на ручку при управлении рулем высоты должна лежать в пределах Р_н.п.= 1,3…2,4 кН.

Берем ближайшее к вычисленному Р значение Р_н.п.= 1,3 кН. Определяем коэффициент пересчета

k_п =

Расчетные усилия в элементах проводки управления должны соответствовать Р_н.п..

                                         S^p_5-6 = k_п S_5-6 =1,31×6= 7,86 кН

Проверим тягу на растяжение. Условие прочности

s £ k×s_в.

Коэффициент, учитывающий уменьшение площади сечения и снижение прочности за счет концентрации напряжений у заклепочных отверстий для крепления наконечника тяги, k @ 0,8.

По «Справочной книге» А = 157,9 мм²,

s =

Запас прочности

Проверим тягу на сжатие, принимая, что сжимающая сила Р_сж= S^p_5-6. Находим Р_кр для трубы заданных размеров из дюралюмина, при наличии шаровых опор: Р_кр = 10 кН.

Следовательно,         S^р_5-6< Р_кр.

Запас устойчивости  

.

Проверим тягу на вибрацию. Во избежание резонанса частота собственных колебаний тяги n не должна лежать в диапазонах:

n_эксп ± 300 об/мин = 1900 … 1300 об/мин

2n_эксп ± 400 об/мин = 3600 …2800 об/мин

Определим собственную частоту колебаний n тяги 5-6 как балки с шарнирно закрепленными концами 

                                              

где m –  погонная масса тяги.

Вес погонного метра трубы 35х32 равен 4,5 Н/м, I = 2,21 см⁴.

m = ,

n =

Таким образом, частота собственных колебаний тяги не лежит в опасных диапазонах.

Продольная сила, сжимающая или растягивающая тягу, изменяет частоту собственных колебаний. Это учтено запасом ±300 и ±400 об/мин. Более точно влияние продольной силы на n может быть учтено при помощи формулы

n_р = n

В формуле при сжатии принимается знак “-“, при растяжении знак “+”.

S – усилие в тяге при нагрузке на ручку Р.

Рассмотрим, как повлияет на собственную частоту тяги усилие от нагрузки на ручку Р = 250 Н:

S_5-6 =

P_Эйлера =

Коэффициент m = 1, так как тяга представляет собой стержень, шарнирно опертый с двух сторон.

При растяжении

при сжатии

Таким образом, при рассмотренной нагрузке Р, когда тяга работает на сжатие, собственная частота колебаний тяги находится в пределах опасного диапазона (вблизи 2n_э) и колебания в период действия силы Р близки к резонансным.

Пример 24. На консоль крыла самолета действует сплошная нагрузка, приведенная к трапеции, с наибольшей интенсивностью q_A = 6 кН/м и наименьшей q_B = 3кН/м. Построить эпюру изгибающих моментов, если длина консоли  l = 6 м (рис. 10).

Решение. Условно будем считать, что трапеция состоит из прямоугольника высотой q_В и треугольника высотой q_A – q_В. Тогда уравнение моментов для произвольного сечения на расстоянии Z от конца консоли будет иметь вид

М_х =.

Рис. 10

                                     

Интенсивность нагрузки в сечении Z определим из подобия треугольников

 откуда q_Z  = .

Подставляя q_Z в уравнение моментов, получим 

М_х = .

Вычислим значение моментов в точках В, Е, D, C, A,  давая переменной Z соответствующие значения.

При Z = 0,      M_B = 0.

При Z = l/4,  M_E = 1,5 ·.

При Z = l/2,   M_D = 1,5 ·.

При Z = 3/4l, M_C = 1,5 ·.

 При Z =l,       M_A = 1,5 ·(l)² + 1/12 ·(l)³ = 1,5 ·36 + 216/12 = 72 кНм.

От нулевой линии откладываем полученные величины в определенном масштабе, и концы ординат соединяем плавной кривой.

Пример 25. Определить внутренний диаметр полуоси колеса шасси, если она  изготовлена  из  специальной  стали  с допускаемым напряжением на изгиб [σ] = 300 МПа, и имеет наружный диаметр D = 75 мм. Расчетное усилие на одно колесо F = 80 кН, а = 150 мм (рис. 11).

Рис. 11

Решение. 1. Полуось колеса рассматриваем как консольную балку, жестко заделанную одним концом. Максимальный момент будет в заделке 

М_max = F ·a =80 ·0,15 = 12 кНм.

2. Определяем необходимый момент сопротивления из условия прочности

σ_max =,

откуда                    W_X = .

3. По найденному моменту сопротивления определим искомый диаметр из формулы    

                                                       W_X = 0,1 ,

d = .

Теория механизмов и детали машин

Пример 26. Провести структурный анализ и классификацию по Ассуру

Артоболевскому для заданной схемы механизма автомата-перекоса вертолета. Ведущее звено АВ отмечено круговой стрелкой (рис. 12).

Решение. Подсчитывается степень подвижности механизма по формуле Чебышева. Для этого определяется число подвижных звеньев n = 7, число кинематических пар 5 класса Р₅ = 10. В механизме отсутствуют пассивные связи и звенья, вносящие лишние степени свободы. Степень подвижности

W = 3n – 2Р₅ – Р₄ = 3·7 - 2·10 – 0 = 1.

1. Ведущее звено задано в условии задачи, и оно должно быть одно, так как W = 1.

2. Механизм расчленяется на группы Ассура. Вначале отделяется группа Ассура второго класса, образованная звеньями 7 и 6 (LKG), затем группа второго класса, состоящая из звеньев 5 и 4 (HEF), и, наконец, группа второго класса, составленная звеньями 3 и 2 (DCB).

3. На этом расчленение механизма заканчивается, так как остались ведущее звено 1 и стойка 8.

                                                       

Рис. 12

4. Записывается формула строения механизма

I₍₁₎ → 2_(2,3) → 2_(4,5) → 2_(6,7) .

В этой формуле римская цифра I  обозначает ведущее звено, арабские – классы присоединяемых групп (2), а индексы указывают, какие звенья образовали ведущее звено и присоединяемые группы.  

         Из формулы строения механизма видно, что наивысший класс присоединенных групп – второй, поэтому механизм автомата-перекоса вертолета следует отнести ко второму классу.

Пример 27. Для редуктора (рис. 13) подсчитать передаточное отношение U₁₅, если z₁ = z₄ = 30, z₂ = z₅ = 20 и  z₃ = 80, а также найти числа оборотов колеса 5 и сателлита 4 при n₁ = 50 об/мин.

Решение. 1. Редуктор двухступенчатый: первая ступень (не планетарная) – от колеса 1 к колесу 2; вторая (планетарная) – от водила Н к колесу 5.

2. Подсчитываем передаточные отношения отдельных ступеней. Для первой ступени имеем

U₁₂ =

откуда n₂ = – 3/2n₁= – 75 об/мин, так как n₂ = n_H, то n_H = – 75 об/мин; для второй ступени имеем

U_H5 = .

3. Передаточное отношение редуктора

откуда

n₅ = – 7,5n₁ = – 7,5 50 = – 375 об/мин.

4. Подсчитываем число оборотов сателлита. Для этого запишем формулу для элементарной планетарной передачи, состоящей из колеса 3, сателлита 4 и водила Н

.

Так как n₃=0, a n_H = – 75 об/мин, то

откуда  n₄ = 125 об/мин, т.е. сателлит 4 вращается в ту же сторону, что и колесо первое.

Рис. 13